Elektrische en magnetische potentialen
Voordat we het Aharanov-Bohmeffect bekijken, moet ik eerst toelichten wat elektrische en magnetische potentialen ook alweer zijn. Kort gezegd: een elektrische potentiaal genereert een elektrisch veld. Dit elektrische veld is het object dat ons vertelt hoe een lading zal gaan bewegen: het veld is gerelateerd aan de kracht op de lading door de formule F = q E, waarin E het elektrische veld is, q de lading en F de kracht. Veel lezers zullen bekend zijn met de eenheid ‘Volt’. Een Volt is niets anders dan de eenheid waarin we de elektrische veldpotentiaal uitdrukken. Als je met bovenstaande formule eenmaal de kracht weet, dan weet je hoe een deeltje dat deze kracht ondervindt gaat bewegen. Het elektrisch veld is nu niets anders dan de verandering van de elektrische potentiaal. Verandert de potentiaal heel snel over een klein stukje ruimte, dan is er een sterk elektrisch veld aanwezig, en ondervinden testladingen een grote kracht en dus versnelling in de richting waarin de potentiaal afneemt.
Voor magnetische velden bestaat ook een potentiaal. Deze potentiaal is iets ingewikkelder dan de potentiaal van elektrische velden. Dit komt doordat er niet een deeltje bestaat dat ‘magnetisch geladen’ is, zoals een elektron elektrisch geladen is. Het wel of niet bestaan van zogeheten ‘magnetische monopolen’ is overigens op zichzelf al een interessant vraagstuk, maar daar ga ik in dit artikel niet verder op in. Om terug te komen op magnetische potentiaal: die is bij gebrek aan monopolen wat lastiger te visualiseren. Feitelijk is de magnetische potentiaal een soort veld, aan de hand waarvan een magneetveld bepaald wordt door de mate waarin het potentiaalveld ‘draait’. Zoals in afbeelding 1 in het rechter plaatje te zien is ‘draait’ de magnetische potentiaal rondom een solenoïde (een langwerpige spoel van geleidend draad met een metalen kern). Dit betekent dus dat er een magneetveld aanwezig is. Dit magneetveld vertelt ons vervolgens hoe een lading beweegt door de wet van Lorenz: F = q v B sin(ϑ) waarin ϑ de hoek is tussen de bewegingsrichting van de testlading en het magnetische veld. Wederom weten we de kracht, en dus weten we hoe de lading zich gaat bewegen in de tijd.
Intermezzo: Geen magneetveld, wél potentiaal
Om de rest van dit artikel te kunnen begrijpen is het goed om nog iets preciezer te kijken naar hoe het magnetisch veld rond een solenoïde eruitziet. Dit is namelijk een specifiek geval dat een paar interessante eigenschappen heeft. In de afbeelding hieronder is te zien hoe de magneetvelden eruitzien (de zwarte lijnen). Zoals te zien, is er een magneetveld aanwezig binnen in de draadspoel, waar veel veldlijnen dicht op elkaar gedrukt zijn. Buiten de solenoïde zijn ook veldlijnen aanwezig, maar deze liggen een stuk minder dicht op elkaar.
Vraag: Wat gebeurt er nu als we de solenoïde ‘oneindig lang’ maken? In dat geval is er géén magnetisch veld buiten de solenoïde, alleen maar ín de solenoïde. Een interessant detail is dat buiten de solenoïde er nog wél een magnetische potentiaal is. Deze potentiaal verandert daar echter niet, en brengt dus geen magneetveld teweeg ergens anders dan binnen in de kern van de solenoïde. Dit is een belangrijk detail voor later, dus ik herhaal het nog eens: een solenoïde heeft een magnetische potentiaal buiten de kern, maar alleen een magneetveld binnen in de kern!
Het Aharanov-Bohmeffect
In hun artikel uit 1959 beginnen Aharanov en Bohm met een kleine introductie waarin ze iets cruciaals zeggen: in de klassieke wetten van elektriciteit en magnetisme kom je ermee weg om alle fundamentele wetten van beweging simpelweg uit te drukken in elektrische en magnetische velden, zonder dus een potentiaal te hoeven gebruiken. Zoals ik hierboven illustreerde is dit inderdaad correct: als we de velden kennen, dan kennen we de resulterende krachten, en kunnen we alles voorspellen wat we willen. In de quantummechanica, daarentegen, is dit níét het geval. Het is bijvoorbeeld noodzakelijk voor het oplossen van de Schrödingervergelijking om de elektrische en magnetische potentialen te kennen.
Dit feit brengt een zeer interessant vraagstuk met zich mee, iets wat tot op heden nog niet helemaal opgelost is. De vraag in kwestie: hebben deze veldpotentialen een meetbaar effect op de golffuncties van de quantumdeeltjes? Per slot van rekening staat, zoals ik al zei, de potentiaal in de golfvergelijking zelf! Het is dan niet gek om te denken dat de oplossing – de golffunctie, dus – ook afhankelijk zal zijn van deze potentialen. In de conclusie van hun paper vertellen Aharanov en Bohm dat het tot dan toe in principe altijd de mening was van wetenschappers dat deze elektrische en magnetische potentialen geen fysisch significante rol kunnen spelen. Dit werd beargumenteerd vanuit de wetenschap dat potentialen ‘ijk-invariant’ zijn. Dit betekent dat het mogelijk is om de potentiaal te veranderen op een bepaalde specifieke manier, zonder dat de elektrische en magnetische velden zelf veranderen. Zolang deze velden niet veranderen, verandert er niets aan de (meetbare) bewegingsvergelijkingen van materie. Dus: we kunnen deze potentialen veranderen, maar het resultaat is níét meetbaar. Conclusie: potentialen kunnen niet fysisch zijn.
Aharanov en Bohm concludeerden anders. De veldpotentialen maken wel degelijk uit! Om dit te illustreren stelden ze een experiment voor zoals weergegeven in afbeelding 3. Een bundel van elektronen komt van links en wordt gesplit in twee aparte elektronbundels. Deze bundels worden langs een solenoïde geleid, ieder langs een andere kant ervan. Hoe de veldpotentiaal eruitziet rondom een solenoïde is te zien in afbeelding 1 rechts. Zoals je daar kunt zien, zal de golffunctie aan de ene kant van de solenoïde met de veldpotentiaal mee bewegen, terwijl die aan de andere kant juist tégen de veldpotentiaal ingaat. Door de Schrödingervergelijking op te lossen voor dit systeem, kan men achterhalen dat er een faseverschil zal ontstaan tussen de twee elektronbundels: de golffuncties van de elektrische en magnetische potentialen zijn bij aankomst een klein beetje ten opzichte van elkaar gedraaid. Normaliter zijn fases totaal onbelangrijk voor quantummechanische golffuncties – van één enkele golffunctie is de ‘fasedraaiing’ inderdaad niet meetbaar – maar als twee golffuncties bij elkaar komen met verschillende fases is dat wél meetbaar: ze kunnen dan namelijk gaan interfereren! Dat wil zeggen: hoe de twee golffuncties van de bundel bij samenkomst precies één nieuwe golffunctie vormen, hangt af van de onderlinge draaiing; soms zullen de twee functies elkaar versterken, en soms juist uitdoven. Het interferentiepatroon kan voorspeld worden, en vergeleken met metingen.
Hadden Aharanov en Bohm gelijk?
Na de publicatie van hun artikel in 1959 kwam er een storm aan artikelen van andere wetenschappers die trachtten te bewijzen dat Aharanov en Bohm ongelijk hadden. Men probeerde om ófwel de argumenten van het artikel te ontkrachten (dat is niet gelukt) ófwel om de theorie van de quantummechanica aan te passen zodat de potentialen alsnog geen meetbare rol zouden spelen. Ook dat is niet gelukt. Uiteindelijk is dan ook gebleken dat Aharanov en Bohm gewoon gelijk hadden. Hun voorspellingen zijn geverifieerd door experimentele resultaten. Een voorbeeld hiervan is hieronder te zien.
Waarom is dit effect zo belangrijk?
We zijn hier iets heel belangrijks tegengekomen zonder het te benoemen. Een quantummechanisch deeltje dat zich ver weg van een magnetisch veld bevindt (maar wél in een magnetische potentiaal) wordt beïnvloed door de potentiaal die hoort bij dat magnetische veld. Maar, het magnetische veld was ‘klassiek’ gezien fysisch, de potentiaal niet. Hoe kan iets on-fysisch onze realiteit dusdanig aanpassen dat we een interferentiepatroon zien? Is het misschien zo dat de elektronen in kwestie wel degelijk het magneetveld ‘zien’, ook al komen ze er niet bij in de buurt? Dit is een vraag die gaat over de zogenaamde ‘lokaliteit’ van quantummechanica. We vragen ons af of een deeltje beïnvloed kan worden door objecten (in dit geval: magnetische velden) die ver weg zijn van het deeltje. Over het algemeen wordt aangenomen dat dit niet het geval kan zijn: objecten die van elkaar verwijderd zijn kunnen elkaar niet beïnvloeden. Of althans; dat was vóór de quantummechanica de consensus. Inmiddels weten we dat er ook niet-locale effecten bestaan zoals quantumverstrengeling. ‘Spooky actions at a distance’ zoals Einstein het noemde, is binnen de regels van de quantummechanica in sommige gevallen wel degelijk mogelijk. Quantumobjecten lijken zich toch iets aan te trekken van objecten die niet lokaal, maar juist ver weg zijn. Dat dit fenomeen bestaat is inmiddels al wel overduidelijk aangetoond, maar het onderliggende mechanisme is nog steeds niet volledig begrepen. De precieze betekenis van ‘lokaal’ in de quantummechanica is een mooi onderwerp voor een later stukje en zal op deze site zeker nog eens besproken gaan worden!
Laat ik een laatste vraag beantwoorden die de kritische lezer zou kunnen stellen. Er is namelijk een mogelijke verklaring voor het Aharanov-Bohmeffect zoals beschreven in dit artikel die géén gebruik maakt van niet-lokaliteit: een solenoïde is nooit echt oneindig lang! Zoals gezegd in het intermezzo: een oneindig lange solenoïde heeft geen magnetisch veld buiten de kern. Een eindig lange solenoïde daarentegen heeft dat wel. Dit betekent dat in realistische situaties de elektronen op de een of andere manier tóch het magnetisch veld gezien moeten hebben, ergens in hun geschiedenis, toen ze van héél ver weg naar de solenoïde toe kwamen. In wat meer detail: zoals te zien in afbeelding 2 heeft een solenoïde die een eindige maat heeft wel degelijk een magneetveld erbuiten. Dit veld is heel zwak, en verspreid over de ruimte. Als je dus ‘van ver weg’ de solenoide benadert, zal je toch voldoende van dit magneetveld gevoeld hebben om te weten dat het er is.
Hoewel je zo dus niet waterdicht kunt bewijzen dat het Aharonov-Bohmeffect niet-lokaal is, is het vreselijk lastig om binnen de wetten van de quantummechanica een andere verklaring te vinden die gebruik maakt van de (extreem kleine) velden die buiten een eindig grote solenoïde aanwezig zijn. De beste conclusie is dus: veldpotentialen zijn wel degelijk fysisch, en de invloed van de quantummechanica is niet alleen maar lokaal.