Stel je de volgende twee situaties voor. In situatie 1 leggen we een voetbal bovenop de top van een berg. In situatie 2 leggen we dezelfde voetbal in het diepste punt van een dal. Een heel eenvoudige natuurkundige vraag is nu: wat zal er in de loop van de tijd gebeuren? Het antwoord is in beide situaties saai: niets! Als we geen invloed op de bal uitoefenen, zal die in beide situaties op zijn plek stil blijven liggen. De oplossing van ons probleem is dus in beide gevallen hetzelfde – maar is het probleem dat we hebben opgelost dat daarmee ook?
Dat het antwoord ‘nee’ is, zie je als je jezelf toestaat om wel wat invloed op de bal uit te oefenen. Geef de bal op de top van de berg een klein zetje, en hij zal beginnen te rollen – eerst langzaam, dan steeds sneller, tot hij de berg helemaal is afgerold. Geef de bal in het dal daarentegen een klein zetje, en hij zal misschien een klein stukje de heuvel oprollen, maar keert vervolgens alweer snel terug op precies hetzelfde punt. In een geïdealiseerde situatie zonder wrijving blijft de bal misschien eindeloos wat heen-en-weerrollen, maar de bal komt in elk geval nooit ver weg van waar hij begonnen is.
Stabiel en instabiel
Het verschil tussen de bal op de berg en de bal in het dal zien we dus pas als we de beginsituatie een beetje verstoren: als we kijken naar oplossingen van ons probleem die ‘in de buurt’ van de gekozen oplossing beginnen. Wat we daarbij een klein beetje variëren zijn de begincondities: de plaats, of eventueel de snelheid, die de bal op het begintijdstip van ons experiment heeft. Bij de bal op de berg heeft een kleine verstoring van de begincondities een groot effect op de einduitkomst. In wiskundige termen zeggen we dan: de oorspronkelijke oplossing van de stilliggende bal is instabiel. Verander ‘m op een bepaald tijdstip een klein beetje, en de gevolgen op een later moment zijn groot. De oplossing van de bal in het dal daarentegen is stabiel: je kunt die op elk moment een klein beetje veranderen, maar ook na langere tijd zullen de gevolgen daarvan klein blijven.
Het is in de natuurkunde belangrijk om niet alleen een bepaald probleem op te lossen, maar om ook te bepalen of de oplossing stabiel of instabiel is. Stabiele systemen zijn rustig – denk aan een brandende ster, die dat miljoenen of zelfs miljarden jaren kan blijven doen – terwijl instabiele systemen juist heel explosief kunnen zijn: letterlijk, want een bom die nog niet is afgegaan is het schoolvoorbeeld van een instabiel natuurkundig systeem.
Instabiel, instabieler, instabielst
Natuurkundigen zijn echter niet alleen geïnteresseerd in de vraag of bepaalde begincondities stabiel zijn of niet. Ook in de wereld van de instabiele systemen bestaan er nog steeds grote verschillen. Kijk weer naar de bal op de top van de berg: die kun je in verschillende richtingen een zetje geven, en de bal zal dan in verschillende richtingen omlaag rollen. Er zijn dus veel verschillende oplossingen die ‘vlakbij’ onze beginoplossing beginnen, maar lang niet elke mogelijke oplossing kun je zien als een gevolg van een klein zetje. Zo bestaat er ook een oplossing van het probleem waarin de bal juist tegen de berg oprolt, en misschien de top wel nooit bereikt maar voor die tijd weer terugrolt. De toestanden waarin de bal in die oplossing is (bijvoorbeeld: halverwege de berg, met nog wat snelheid omhoog) zul je nooit kunnen bereiken door te beginnen met een bal op de top, en vervolgens die situatie een klein beetje te verstoren.
Vergelijk dit voorbeeld nu met dat van een inktdruppel die je in een glas water laat vallen. Wacht lange tijd, en uiteindelijk zul je een glaasje lichtblauw water overhouden: de moleculen uit de inkt hebben zich door het hele glas verspreid. (En, minder makkelijk met het blote oog te zien: ze zullen ook allerlei verschillende snelheden hebben gekregen.)
In dit laatste experiment kun je de verschillende moleculen zien als nét iets andere keuzes van begincondities: elk molecuul raakt het wateroppervlak op een net iets andere plek, en met een net iets andere snelheid. De moleculen beginnen allemaal vlak bij elkaar, maar na lange tijd zijn ze op vrijwel elke plek in het glas terechtgekomen, en kunnen ze vrijwel elke mogelijke snelheid hebben. (‘Vrijwel’ elke, want behoud van energie begrenst die snelheden natuurlijk wel.)
Een systeem zoals een inktmolecuul in een glas water, waarin we door een kleine variatie van de beginvoorwaarden niet alleen heel verschillende eindsituaties kunnen krijgen, maar zelfs elke eindsituatie kunnen bereiken (zolang daarbij wetten als energiebehoud niet worden geschonden) noemen we ergodisch. De naam schijnt te komen van de Griekse woorden ‘ergon’ (energie, arbeid) en ‘hodos’, weg – een ergodisch systeem legt elke mogelijke weg af binnen de energiegrenzen – al geeft Wiktionary ook ‘eidos’ (verschijningsvorm) als mogelijke verklaring van het tweede deel van het woord.
Chaos
Ergodische systemen komen veel voor in de chaostheorie: de theorie die de dynamica bestudeert van systemen waarvoor uit de beginconditie niet of nauwelijks de eindtoestand te voorspellen valt. Dat geldt vrijwel altijd voor ergodische systemen: vanuit (de buurt van) een bepaalde beginconditie kunnen immers vrijwel alle eindtoestanden bereikt worden! Het bekendste voorbeeld van een chaotisch, ergodisch systeem kwam bij de recente toekenning van de Nobelprijzen weer eens naar boven: als een vlinder met zijn vleugels klapt (een kleine verstoring in de begincondities van de atmosfeer) kan dat uiteindelijk op enorme afstand een tornado tot gevolg hebben – een toestand die duidelijk héél ver afligt van rustige, onverstoorde lucht. Complexe systemen zoals het weer zijn dan ook typische voorbeelden van chaotische systemen.
Het tegendeel bestaat ook: systemen waarin we weliswaar de begincondities kunnen verstoren, maar waarin we vervolgens exact kunnen beschrijven wat er gebeurt. In zulke gevallen zijn er vaak behoudswetten die ons helpen, net zoals we eerder al zagen dat behoud van energie de mogelijke toestanden die een systeem kan bereiken beperkt. Vaak zijn er meer behoudswetten – denk aan behoud van impuls, of impulsmoment (‘draaiing’) – die de mogelijke eindtoestanden nog verder inperken. En sóms zijn er zelfs zoveel behoudswetten, dat die wetten alleen al exact vastleggen in welke eindtoestand een systeem vanuit een bepaalde begintoestand kan komen – er is simpelweg maar één mogelijk traject dat aan alle behoudswetten voldoet. Zulke systemen, die in zekere zin het tegendeel van chaotisch zijn, worden ook wel volledig integreerbaar genoemd. Het zijn vaak systemen met prachtige natuurkundige en wiskundige eigenschappen; het gedrag van watergolven in een ondiep kanaal – beschreven door de zogeheten Korteweg-De Vriesvergelijking is een bekend voorbeeld. Een onderwerp voor een artikel op zich!
Een goed begin…
Kortom: ook in de natuurkunde is een goed begin het halve werk, maar wat je precies onder ‘een goed begin’ verstaat, daar verschillen de meningen over. De ene natuurkundige bestudeert graag het majestueuze gedrag van stabiele systemen, de ander verdiept zich liever in chaotische en ‘onvoorspelbare’ systemen zoals het weer. Ook qua begincondities en hun gevolgen is er in de natuurkunde voor elk wat wils!